Streuungszerlegungssatz

Loading the player ...

Kapitel zurück        Kapitel vor

Streuungszerlegungssatz.
Vergleichen wir die aktuellen Bestelldaten unseres Fischgerichtes aus dem vorherigen Beispiel mit einem Datensatz, den wir bereits vor einem halben Jahr erhoben haben, liefert uns der "Streuungszerlegungssatz" interessante Erkenntnisse.
Dies ist die uns bereits bekannte Datenliste mit den Bestellungen des Gerichtes "Lachs in Sahnesauce". Darunter sehen wir einen zweiten Datensatz mit den Bestellmengen von 21 Tagen, allerdings fand diese Erhebung bereits vor einem halben Jahr statt.

Das arithmetische Mittel und die Streuungen des ersten Datensatzes haben wir im Vorhergehenden bereits errechnet, wir lassen es uns hier noch einmal anzeigen und stellen einen Vergleich mit den Werten des zweiten Datensatzes an.

Das arithmetische Mittel ist ähnlich, vor einem halben Jahr wurden durchschnittlich etwas weniger als 7 Fischgerichte pro Abend bestellt. Was ist aber mit der Streuung los? Anscheinend streuen die aktuellen 14 Werte stärker, als es die 21 Werte des älteren Datensatzes tun.

Wir haben hier 2 Datensätze, deren arithmetische Mittel und deren Streuungswerte vorliegen. Nun werden wir für beide Datensätze erstmal ein gemeinsames arithmetisches Mittel nach folgender Formel bilden.
Bei der Berechnung haben wir beide Einzelwerte mit "14" und "21" multipliziert und somit "gewichtet". Wir kennen nun das gemeinsame arithmetische Mittel beider Datensätze.

Auch aus den einzelnen Streuungen können wir nach folgender Formel auf die gleiche Weise einen gewichteten Mittelwert berechnen.
Wieder gewichten wir hier die Einzelwerte der beiden Streuungen mit "14" und "21" und erhalten einen gemeinsamen Wert, der sich "interne Streuung" nennt.

In der Statistik berechnet man häufig noch einen weiteren Wert, die "externe Streuung".
Sie ergibt sich nach folgender Formel.
Was erkennen wir am "n i" in der Mittel der Formel?
Genauso wie eben, werden wir wieder etwas "gewichten". Diesmal sind es aber nicht die einzelnen Streuungen, die wir gewichten, sondern die Abweichungen der einzelnen arithmetischen Mittel vom gesamt-arithmetischen Mittel.
Berechnen wir's einfach, dann wird es deutlicher.

Wir erkennen wieder die Gewichtung mit "14" und "21" und jeweils dahinter ziehen wir den Gesamtmittelwert von den beiden einzelnen Mittelwerten ab. Wir haben hiermit quasi die Streuung beider Mittelwerte um den Gesamtmittelwert berechnet. Das Ergebnis deutet darauf hin, dass die zwei Mittelwerte fast gar nicht streuen - und so ist es in unserem Beispiel ja auch der Fall gewesen. Denn sowohl nach dem ersten, aktuellen Datensatz, als auch nach dem älteren, haben die Gäste ca. 7 mal pro Abend das Fischgericht bestellt.

Was haben nun internes und externes Mittel mit einander zu tun und was besagt der "Streuungszerlegungssatz"?

Laut dem "Streuungszerlegungssatz" ergibt sich die "Gesamtstreuung" aus "interner plus externer" Streuung.
Für unsere zwei Datensätze ergibt sich als Gesamtstreuung also dieser Wert.

Zugegeben, der "Streuungszerlegungssatz" erscheint uns sehr theoretisch und stellt bisher noch keine wirkliche Hilfe für unsere Einkaufsplanung im Restaurant dar. Wenn wir aber die Wurzel aus der Gesamtstreuung ziehen würden, erhielten wir bekannter Weise die gemeinsame Standardabweichung beider Datensätze.
Der Vorteil würde dann in der größeren Datenbasis von "14 plus 21", also 35 Tagen liegen, aufgrund derer wir unsere Fischeinkäufe planen.

Merke dir einfach Folgendes: Die "interne" Streuung ist der gewichtete Mittelwert der einzelnen Streuungen. Die "externe" Streuung ist die Streuung der einzelnen Mittelwerte um den Gesamtmittelwert. Laut "Streuungszerlegungssatz" ergibt sich die Gesamtstreuung aus "interner plus externer" Streuung.